Mai multe feluri de a privi sfera

Fragment din Capitolul 2 din mai amplul eseu intitulat Despre sfere. Acest fragment a apărut întâi pe blogul lui Ovidiu Pecican: http://ovidiupecican.wordpress.com/tag/paris/

Putem spune cu certitudine că universul este peste tot centru,  

sau că centrul universului este peste tot şi circumferinţa nicăieri.[1]

J. L. Borges,  La Esfera de Pascal

În toamna lui 1896, când Gheorghe Ţiţeica avea doar 23 de ani, a ajuns la Paris cu o bursă românească de merit, iar întâlnirea lui cu Gaston Darboux trebuie să fi fost acel eveniment unic care poate schimba o viaţă. Programul de doctorat al lui Ţiţeica avea să dureze trei ani şi să se  desfăşoare sub îndrumarea lui Darboux, ale cărui lucrări la ora aceea se bucurau deja de recunoaştere internaţională. Gaston Darboux a fost geometru, a îndeplinit între altele şi funcţia de decan al Facultăţii de Ştiinţe şi, între multe alte contribuţii, a scris o lucrare în patru volume intitulată Théorie générale des surfaces, al cărei ultim volum abia venise de la tipar în toamna când Ţiţeica a ajuns la Paris. Pentru multă vreme, tratatul lui Darboux a fost una dintre referinţele principale în domeniul geometriei. Pentru tânărul student român trebuie că a fost o descoperire de graţie. Îi era foarte clar că se află în centrul universitar al lumii, în laboratorul în care se nasc ideile.

Din perioada aceea circulă despre Darboux mai multe istorii. Se spune că [2] topologul danez Poul Heegaard (1871-1948) a venit în vizită la Paris, după ce a absolvit facultatea la Universitatea din Copenhaga în 1893, înarmat cu o scrisoare de prezentare către Darboux. Heegaard a aşteptat în anticameră vreme de patruzeci şi cinci de minute, după care secretara i-a comunicat că domnul profesor Darboux a mototolit scrisoarea de recomandare şi a aruncat-o direct în coşul de gunoi.  Astfel, aşteptarea nu mai avea sens: oaspetele danez a plecat fără a schimba nici un cuvânt cu Darboux. Heegaard a avut parte de o primire mult mai binevoitoare din partea lui Felix Klein în Germania, iar peste câţiva ani avea să confirme, producând rezultate de interes în topologie.

Simplul fapt de a fi fost acceptat şi confirmat în cercul studenţilor lui Darboux era o performanţă în sine. Teza lui Ţiţeica nu a fost decât un prim pas într-o carieră de maximă creativitate în cercetare. Nu cred că ar fi o afirmaţie hazardată dacă aş spune că Ţiţeica a fost primul cercetător autentic produs de Şcoala de la Bucureşti.

Cel mai remarcabil lucru care se poate spune despre el e că a fost un matematician care a rămas activ toată viaţa în domeniul său de cercetare. Ar merita povestit aici felul în care a apărut acel domeniu al geometriei numit geometrie diferenţială afină. Descoperirea a avut loc la Bucureşti, în primăvara care a precedat răscoalele din 1907. După ce a devenit profesor plin la Universitate, în 1903, Gheorghe Ţiţeica a avut o perioadă de cercetare extrem de fertilă, care a durat mai bine de o decadă. A publicat o serie de articole importante între 1906 şi 1916 în cele mai prestigioase reviste ştiinţifice ale vremii, aşa cum erau  Comptes Rendues şi Rendiconti. Ţiţeica avea 33 de ani atunci când prima lui lucrare despre legătura dintre curbură şi transformările liniare i-a apărut la Paris. 

Dacă despre prestigiul unei reviste aşa cum este Comptes Rendues, a Academiei de Ştiinţe din Paris, nu e nevoie să insistăm prea mult, ar trebui spus că Rendiconti del Circolo Matematica di Palermo fusese fondat în 1884 de matematicianul Giovanni Guccia (1855-1914), fiul unei importante familii foarte bogate siciliene, înrudită cu nobilimea din sudul Italiei. Giovanni Guccia şi-a susţinut doctoratul sub conducerea lui Luigi Cremona (1830-1903) la Roma, şi şi-ar fi dorit să introducă Palermo în circuitul academic mondial. În acest sens, a dotat Cercul Matematic cu un loc de întâlnire, cu o bibliotecă şi i-a pus la dispoziţie finanţarea necesară. Aceste intenţii au atras colaborări valoroase şi lucrări de crucială importanţă pentru matematica de la finele secolului XIX şi începutul veacului următor au apărut în Rendiconti. Între altele, Complément à l‘analysis situs, publicat acolo de Poincaré în 1899, sau ultima lucrare a lui Poincaré apărută în 1912 tot în Rendiconti, intitulată simplu Sur un théorème de géométrie, un studiu care a dat naştere unor cercetări cu consecinţe importante până în vremurile noastre [3].

Ţiţeica şi-a început discuţia lui despre aşa-numitul invariant afin (pe care îl vom descrie aici), subliniind că e interesat de acele suprafeţe a căror curbură într-un punct P e proporţională celei de-a patru puteri a distanţei de la originea axelor de coordonate la planul tangent dus la suprafaţă în P, distanţă notată cu d. El a numit suprafeţe de clasă S toate acele suprafeţe care satisfac această proprietate, mai precis egalitatea K = o constantă x d⁴.

Şi acum surpriza. Ţiţeica studia efectul pe care îl au transformările liniare asupra spaţiului cu trei dimensiuni. În calcule, el urmărea ce se întâmplă cu formula suprafeţei, atunci când vectorul de poziţie al unui punct care se plimbă pe suprafaţă este înmulţit cu o matrice pătratică de dimensiune trei pe trei. Rezultatul pe care Ţiţeica în comunica în 1907 Academiei din Paris era următorul: Dacă o transformare liniară care păstrează fix atât punctul O, precum şi infinitul, este aplicată ecuaţiei unei suprafeţe de tip S, atunci se obţine tot o suprafaţă de tip S, având centrul tot în O.

Intuiţia lui Ţiţeica a fost extraordinară. Câte tatonări să fi făcut oare până a ajuns la studiul proporţionalităţii dintre curbura gaussiană şi distanţa d? Lucrarea lui din 1907 se încheie cu rezultatul principal: O transformare liniară care nu schimbă nici planul de la infinit, nici originea, lasă neschimbat raportul dintre curbura Gaussiană a suprafeţei şi d⁴.

Importanţa acestui rezultat este următoarea: există o legătură profundă între curbura gaussiană şi unele categorii de deformări ale suprafeţelor, mai precis cele descrise de transformări liniare, de cele care se pot reprezenta prin matrice. 

Atunci când a studiat aceste lucruri, Ţiţeica ştia că urmează una dintre direcţiile de cercetare enunţate de Felix Klein, în 1872, în aşa-numitul Program de la Erlangen. Klein enunţase o problemă foarte generală: să se studieze cum anume transformările spaţiului, aşa cum sunt cele reprezentare de matricele pătratice trei pe trei, influenţează geometria, figurile şi ce anume cantităţi rămân neschimbate atunci când aplicăm aceste transformări. Chiar aşa, ce legătură ne-am fi aşteptat să fie între curbură şi deformările exprimate prin matrice pătratice? La prima vedere, n-ar trebui să aibă una de-a face cu celelalte. Dar iată că există o punte de legătură, care nu e deloc evidentă.

---

[1] În original: Podemos afirmar con certidumbre que el universo es todo centro, o que el centro del universo está en todas partes y la circunferencia en ninguna. [2] Episodul e povestit de George Szpiro.
[3] Celebra conjectură a lui Poincaré a fost demonstrată de Grigori Iakovlevici Perelman într-o lucrare făcută publică în noiembrie 2002.